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Faustformel zur Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Deimos
Hauptgefreiter


Anmeldedatum: 21.07.2004
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 3:09 pm    Titel: Faustformel zur Wahrscheinlichkeitsverteilung Antworten mit Zitat

Faustformel zur Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ich habe mir ein paar Gedanken zum Thema Axis&Allies ? Kämpfe, Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht mit dem Ziel, eine allgemeingültige, im Kopf anwendbare Formel zu finden, die, wenn man keinen PC-Wahrscheinlichkeitsrechner zur Hand hat, z.b. bei Ftf-Spielen, eine möglichst genaue Antwort auf die wohl nicht unwichtige Frage ?klappt dieser Angriff?? ist.
Dieser Beitrag unterteilt sich übrigens in eine Herleitung und einen Teil für Anwender. Ersterer ist zur Anwendung dieser Faustformel natürlich keine Vorraussetzung, es schadet aber zur besseren Interpretation der Ergebnisse sicherlich nicht, wenn man einen Einblick in die Funktionsweise hat.

1. Herleitung

Zuerst einmal müssen wir uns klarmachen, welche Variablen auf den jeweiligen Seiten eigentlich wirklich wichtig für den Ausgang des Kampfes sind. Von diesen geht später unsere angenäherte Formel aus.

Zustimmen wird mir sicherlich jeder, wenn ich als ein Kriterium die addierte Würfelstärke aller Einheiten einer Seite ansetze. Nennen wir diesen Wert a (es gibt also ein a1 und ein a2).
Der zweite Wert, fast noch wichtiger, ist die Anzahl der Einheiten auf einer Seite. Wenn ich nämlich zwei Trupps mit gleichem a-Wert aufeinander hetze, nämlich z.B. 4 Inf, 1 Bmb ./. 2 Ftr , sind wir von 50/50 soweit entfernt wie nur möglich. Nennen wir die Anzahl der Einheiten b (auch hier gibt es wieder b1 und b2).

Wir gehen also zuerst einmal davon aus, dass das jeweilige a wichtiger ist als das jeweilige b. Bei a1=a2 hat durchgehend derjenige die höheren Siegchancen, der mehr Einheiten auffährt. Wir setzen also, um eine Siegwahrscheinlichkeit zu finden, beide b-Werte ins Verhältnis.

Hyp.1 Bei a1=a2 gilt:
p(Sieg b) = b2 / (b1+b2)

Setzen wir nun jedes b ins Verhältnis zum jeweiligen a.

Hyp.2 allgemein gilt:
p(Sieg 2) = b2/a2 / (b1/a1+b2/a2)

Nun fällt auf: Bei ungleichem a verschiebt sich die Wahrscheinlichkeit in negativer Relation, (d.h. je mehr ich ihm an Feuerkraft überlegen bin, umso höher seine Chancen), was äußerst widersinnig ist.
Dies beheben wir durch den Faktor a2/a1 (welchen wir der Einfachheit halber nicht ausmultiplizieren).

Hyp.3 allgemein gilt:
p(Sieg 2) = b2/a2 / (b1/a1+b2/a2) x a2/a1

In der Praxis allerdings ist der Einfluss der Einheitenanzahl viel größer als hier angegeben, wie man sich leicht durch Abgleich mit einem PC-Wahrscheinlichkeitsrechner vor Augen führen kann.
Wir quadrieren also alle Werte von b.

Hyp.3 es gilt:
p(Sieg 2) =b2²/a2 / (b1²/a1+b2²/a2) x a2/a1

Allerdings merken wir im Vergleich mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner, dass, je mehr Einheiten pro Seite kämpfen, die Wahrscheinlichkeiten immer "zahmer" werden, d.h. sich immer weiter an 50% anschmiegen. Deshalb müssten wir mit einer von der Einheitenzahl abhängigen Potenz n die Werte ausdifferenzieren. Da wir damit allerdings jegliche Hoffnung aufgeben würden, jemals zu einer im Kopf berechenbaren Formel zu gelangen, arbeiten wir mit Hyp. 3 weiter.


2. Anwendung

Die ist für die Anwendung im Kopf noch zu kompliziert, aber wenn uns eigentlich nur interessiert, wer die höheren Chancen hat, den Kampf zu gewinnen, müssen wir nur die einzelnen Werte vergleichen, statt Prozente zu bilden. Durch Umformung finden wir heraus: Wenn p(Sieg 2) > p(Sieg 1), dann gilt ebenso:
b2² x a2 > b1² x a1 . Der aufaddierte Würfelwert aller Einheiten multipliziert mit deren Anzahl im Quadrat ist demzufolge ein für alle Vergleiche geeigneter Indikator. Der Einfachheit halber habe ich beschlossen, ihn den C-Wert zu nennen, der sich immer auf die Stärke einer bestimmten Truppe bezieht und diese ins Verhältnis zu einer beliebigen Anderen setzt.

In Kurzform gilt also:

a1= Addierte Würfelstärke von Partei 1
b1= Anzahl der Einheiten von Partei 1
a2= Addierte Würfelstärke von Partei 2
b2= Anzahl der Einheiten von Partei 2

Der C-Wert berechnet sich wie folgt:
Ci= bi² x ai

Die Truppe mit dem höheren C-Wert hat die höheren Siegchancen.

3. Wichtig...

ist, dass eben keine Wahrscheinlichkeit gegeben wird. Ich kann nicht mal schnell im Kopf darauf kommen, dass die Chancen in diesem Kampf 83% für mich stehen. Ich kann allerdings erkennen, dass ich mehr Chancen habe, den Kampf zu gewinnen, als mein Gegner.


So, falls ihr Fehler oder Ungereimtheiten findet, mich auf etwas aufmerksam machen wollt oder Ideen habt, was man damit noch weiter anstellen könnte, immer zu. Ich freue mich über jede Reaktion. Man verzeihe mir bitte auch die Fliesstextformatierung aller Formeln Very Happy

Ulli
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OpTorch
Generalmajor


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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 3:47 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Wie ist die Email Adresse von deinen Psychologen? Very Happy
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Deimos
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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 4:07 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Mit mir identisch Very Happy Wir sind gewissermaßen eins Very Happy Ists doch so abgedreht?
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Nightfall
Generalleutnant


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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 5:29 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Deimos,

ich habe mir in der Vergangenheit ebenfalls um Fausformeln Gedanken gemacht. eine der von mir getesteten war die von dir beschriebene. Leider liefert sie leider viel zu oft falsche Werte. ein Beispiel um das ganze zu demonstrieren: 25 inf gegen 10 inf, 5 ftr. laut Faustformel komme ich da auf 15625 zu 9000. Im Sim haben die 25 inf allerdings nur 37%.

Das Problem tritt bei fast allen Kämpfen auf, da meist der Attacker mit etwas mehr Units anrückt, davon aber meist viele inf dabei sind. dadurch dass du bei dieser Formel der Anzahl der Einheiten einen höheren Stellenwert gibst als deren Kampfwert kommt es somit fast dauernd zu Falscheinschätzungen.

Ich habe aber herausgefunden, dass basierend auf den von dir genannten Werten sehr wohl eine (fast) genaue Angabe zu machen ist, wer im Vorteil ist.

wenn die Anzahl der Einheiten größer ist UND der Kampfwert ebenfalls, dann gibt es nur noch ganz wenige Situationen, in denen dies nicht zutrifft (bei 10 inf, 10 arm vs. 21 inf würde es beispielsweise wieder nicht stimmen...aber das muss man halt wissen, dass wenn es knappe Ergebnisse sind, man besser nochmal per Hand nachrechnet)

umd das ganze dann zu verbessern würde ich wie folgt vorgehen:

Anzahl * Kampfwert + Anzahl * Kampfwert der besten 50% der Units

oder anders formuliert: Anzahl Einheiten * (Kampfwert + Kampfwert der stärksten 50% der Einheiten)

beides für attacker und defender machen und dann weiss man für ein ftf ziemlich sicher, ob man im Vorteil ist, oder nicht...

bei obigem Beispiel wäre das dann:
25 inf vs. 10 inf, 5 ftr (37%)
25 x 37,5 = 937,5
15 x 65 = 975

beim anderen: 10 inf + 10 arm vs. 21 inf (59%)

20x 70 = 1400
vs. 21 x 63 = 1323

bei 10 inf, 10 arm vs. 22 inf (45%)
20x70 = 1400
vs. 22 x 66 = 1452

denke also dass diese Faustformel besser zu gebrauchen ist.

Viele Grüße
Nightfall


Zuletzt bearbeitet von Nightfall am Mi Sep 14, 2005 5:43 pm, insgesamt einmal bearbeitet
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Winkelmann
General


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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 5:36 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Nightfall hat Folgendes geschrieben:

wenn die Anzahl der Einheiten größer ist UND der Kampfwert ebenfalls, dann gibt es nur noch ganz wenige Situationen, in denen dies nicht zutrifft (bei 10 inf, 10 arm vs. 21 inf würde es beispielsweise wieder nicht stimmen...aber das muss man halt wissen, dass wenn es knappe Ergebnisse sind, man besser nochmal per Hand nachrechnet)


20 Einheiten gegen 21 Einheiten.
Schlechtes Beispiel. Smile
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Nightfall
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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 5:44 pm    Titel: Antworten mit Zitat

habe meinen Beitrag so eben noch ergänzt um eine Formel die die unterschiedliche Kampfstärke der Units mitberücksichtigt. (Als Faustformel wirklich brauchbar)
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Nightfall
Generalleutnant


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BeitragVerfasst am: Mi Sep 14, 2005 6:46 pm    Titel: Antworten mit Zitat

noch eine Anmerkung um meine zuvor genannte Faustformel zu verbessern:

man unterscheidet in starke und schwache Einheiten: Kampfwerte 1 und 2 zählen hierbei als schwach, während Werte ab 3 als stark zählen. Dabei muss für jede Starke Unit eine schwache Unit da sein, damit die starke gezählt wird. beide Seiten werden betrachtet. die Seite die mehr starke Einheiten hat gibt den Wert x an (Anzahl starke Einheiten). damit wird die oben genannte schnelle Faustformel nochmals verfeinert um auch Situationen in denen ganz wenige Kraftvolle Einheiten zusammen mit ganz vielen schwachen noch genau eingeschätzt werden können. (z.B. 20 inf, 3 bmb vs. 20 inf).

einige Beispiele:

a) 5 inf, 5 arm vs. 10 inf (65%)
5:0 starke Units -> Kampfwerte der ebsten 5 Units werden hinzugefügt

-> 10 * (5 + 15 + 15) vs. 10* (20 + 10) = 350 vs. 300

b) 10 inf, 2 bmb vs. 11 inf (57%)
2:0 starke Units -> Kampfwerte der besten 2 Units werden addiert.

-> 12 * (10+8+Cool vs. 11 * (22 + 4) = 312 vs. 286

c) 10 arm vs. 6 inf, 4 ftr (44%)
0:4 starke Units (dem attacker fehlen schwache die die starken aktivieren)

-> 10 * (30 + 12) vs. 10 * (28 + 16) = 420 vs. 440

d) 20 inf, 10 arm vs. 20 inf, 5 ftr (63%)
10:5 starke Units -> Kampfwerte der besten 10 werden addiert

30* (20 + 30 + 30) vs. 25* (40 + 20 + 30) = 2400 vs. 2250


Leoder habe ich bisher aber noch keinen Weg gefunden, um anhand der Ergebnisse Rückschlüsse auf die Siegchancen zu geben...
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Deimos
Hauptgefreiter


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BeitragVerfasst am: Do Sep 15, 2005 3:02 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Find ich toll, dass sich jemand tatsächlich damit befasst Smile Ich habe halt versucht, es einfach zu halten. Dass bei Extremen wie 25 Inf eine Verzerrung auftritt, habe ich eiskalt in Kauf genommen (ich habe diese Verzerrung aber auch massiv unterschätzt, muss ich zugeben)

Dein Ansatz (starke Einheiten, schwache Einheiten) erscheint mir sinnvoll, denn ganz pragmatisch betrachtet gilt ja:

1 Bmb, 4 Inf
Nun hat der Bmb gewissermaßen 5 HP, bleibt also 5mal so lange auf dem Brett, trifft also (vereinfacht gesagt, genau so ist es natürlich nicht) auch 5 mal so oft.

Zu den Rückschlüssen auf die Siegchance:

Wie zu beobachten ist, nähern sich die Werte immer weiter aneinander an, je mehr Einheiten involviert sind. Die prozentuale Verteilung rückt immer weiter an 50/50 heran. Wenn allerdings beide Werte immer auf der richtigen Seite bleiben, muss es ein von den Einheitenzahlen abhängiges n geben, mit dem potenziert die Wahrscheinlichkeitsverteilung wieder stimmt. Ich habe leider gerade keinen Taschenrechner zur Hand, aber für jedes der von dir geposteten Beispiele müsste es ein korrespondierendes n geben.

Ulli
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Muad´ib
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BeitragVerfasst am: Do Sep 15, 2005 4:38 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Hm.... wenn ich ehrlich bin verstehe ich nur Bahnhof.... habe nicht gewusst, dass das Spiel etwas für Mathe und Informatikstudenten ist.... Rolling

Naja, komme eigentlich auch ganz gut ohne diese Methoden aus, vielleicht spiele ich deshalb nicht in der Spitzenklasse, aber das ganze soll ja auch noch ein bisl spaß machen.....

Sollte jetzt kein angriff sein, einfach nur eine Meinung.

P.s.: Deimos ich warte auf deinen Zug Cool


Mfg
Muad´ib
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Alle Menschen sind klug, die einen vorher, die anderen nachher.
(chinesisches sprichwort)
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Panther
DAAK - VP / Vize-Verteidigungsminister


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BeitragVerfasst am: Do Sep 15, 2005 8:49 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Für Mathe und Informatikstudenten ist AA sicher auch was.
Alle anderen nehmen einfach einen Combat Simulator und gut. Laughing
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Würfel sind nichts anderes als Foltergeräte in Miniaturausgabe, die von hinterhältigen Sadisten entwickelt wurden um Strategiespieler zu quälen!
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Buronius
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BeitragVerfasst am: Fr Sep 16, 2005 8:16 am    Titel: Antworten mit Zitat

Nach langer Forumsabstinenz (zwar immer gelesen, aber schon sehr lange nix mehr geschrieben) melde ich mich auch mal wieder!

Also, ich gebe Muad'ib vollkommen recht! Ein Spiel (und auch ein Spiele-Klub) sind ja wohl in erster Linie dafür da, um Spass zu haben. M. E. geht dieser Spass völlig verloren, wenn man jeden einzelnen Zug wissenschaftlich aufdröselt. Meine Meinung ist halt, dass es im Wesen des Spieles liegt, Entscheidungen aus dem Bauch heraus zu treffen und damit natürlich auch danebenliegen zu können. Wenn man nur deswegen spielt, um 100%ig perfekt zu sein, ist nach meiner Meinung nun mal der Sinn und Zweck des Spielens (nämlich Spass und Entspannung finden) komplett verfehlt.
Evtl. könnte man ja mal eine Umfrage zu diesem Thema starten. Würde mich mal interessieren, wie die Mehrheit der Klubmitglieder dazu steht.

Viele Grüsse an alle
Buronius

PS: @ Panther: Vielleicht klappts ja dieses Jahr im Herbst, dass wir zusammen zur Con aufbrechen!
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Deimos
Hauptgefreiter


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Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: Fr Sep 16, 2005 9:14 am    Titel: Antworten mit Zitat

Ich will auch niemandem den Spaß am Spiel nehmen Smile Und außerdem nimmt es glaube ich auch dem Ftf-Spiel nicht viel an Bauchgefühl, wenn ich, statt wie bei PbM alle und jede Eventualität in den BatSim zu werfen, nur ungefähr weiß, ob meine Chance sich jenseits von 50% .

Übrigens bin ich auch kein Mathematiker, sondern VWL-Student (und auch nurn Ersti). Richtig ist aber, dass mein Herz für die Spieltheorie schlägt Very Happy Das ist grob gesagt Mikro-Ökonomik (ein Hund, zwei Heuballen, einer brennt, welchen nimmt er :rolleyes: ) , Statistik und Forschung im Bereich künstliche Intelligenz zusammen Smile

(Und Muad'ib: Meinen vernichtenden Zug Mad bekommst du heute abend, wenn ich an meinem eigenen Rechner sitze und nicht in der Uni)



Weg vom persönlichen, jetzt wirds wieder theoretisch:

Gehen wir also ins Beispiel. Ein Angriff erfolgt, zumindest in 90% der Fälle, mit vielen Inf und einer gewissen Anzahl starker Einheiten. Diese sind bei Landkämpfen meistens Arm und Ftr (Bmb als Angriffseinheiten lohnen sich kaum, wenn überhaupt, nimmt man den mit, den man sowieso schon hat, und fertig). Daraus folgern wir für eine derartige Truppenzusammensetzung (vereinfacht aus Nightfalls Formel):

C= Einheitenzahl (Gesamtkampfwert + Kampfwert der starken Einheiten)

Nun definieren wir b:=Einheitenzahl; k:=Anzahl der starken Einheiten; a:=Gesamtkampfwert

C= b (a + k * 3 )

a können wir auch durch b und k ausdrücken: Nur von Inf als schwacher Einheit und 3ern als starken Einheiten ausgehend, gilt:
a= k * 3 + (b-k) * 1
a= 2k+b

Und setzen dieses nun ein.

C= b (5k + b)

Dies wäre vereinfacht eine Angriffsformel. Mir ist schon klar, dass es eben nicht exakt Nightfalls Formel ist und auch hier wieder einige Ungereimtheiten auftreten, aber das ist auch gar nicht das, was ich hier erreichen will. Es geht also weiter:

Die Kosten für einen derartigen Verband (K genannt) wären also, wenn wir von Panzern und Inf ausgehen:
K= 3* (b-k) + 5 * k
K= 3b+2k

Wenn wir C und K jetzt ins Verhältnis bringen, erhalten wir die Effektivität unserer Truppe, abhängig von deren Gesamtgröße b. Das Maximum einer Funktion ist die Nullstelle der Ableitung, also müssen wir

E (k) = (5kb+b²) / (2k+3b)

nur noch ableiten und gleich null setzen.

Mad Ich hab aber leider die Quotientenregel der Ableitung grad nicht zur Hand, wer sie findet und das ausrechnet, bekommt einen Keks Smile

So, da das Ergebnis hier jetzt aktuell noch fehlt, wars das von mir auch schon (endlich) wieder.

Deimos
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Winkelmann
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BeitragVerfasst am: Fr Sep 16, 2005 9:47 am    Titel: Antworten mit Zitat

Zum Thema mal ein Auschnitt aus einem Zeitungsartikel:

Risikobereite Menschen sind mit dem Leben zufriedener

Bonn (dpa/lnw) - Wer gerne Risiken eingeht, ist mit mit seinem Leben zufriedener als andere Menschen. Das ist das Fazit einer Studie des Instituts zur Zukunft der Arbeit (IZA), der Universität Bonn und des Deutschen Instituts für Wirtschaftsforschung (DIW).

_________________
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OpTorch
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BeitragVerfasst am: Fr Sep 16, 2005 10:10 am    Titel: Antworten mit Zitat

"E (k) = (5kb+b²) / (2k+3b)

nur noch ableiten und gleich null setzen."


Ich bin so froh das wir gleich eine Formel haben womit wir im Kopf die Wahrscheinlichkeit berechnen koennen. Endlich das Papier und der Sim von Tisch! Very Happy
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Deimos
Hauptgefreiter


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BeitragVerfasst am: Fr Sep 16, 2005 10:56 am    Titel: Antworten mit Zitat

OpTorch hat Folgendes geschrieben:
"E (k) = (5kb+b²) / (2k+3b)

nur noch ableiten und gleich null setzen."


Ich bin so froh das wir gleich eine Formel haben womit wir im Kopf die Wahrscheinlichkeit berechnen koennen. Endlich das Papier und der Sim von Tisch! Very Happy


Very Happy Wie richtig Smile Aber die Formel für "im Kopf" hat Nightfall ja mehr oder weniger geliefert, sie hielt zumindest meinen Überprüfungen stand.

Ich quote sie nochma zusammenhängend:

Nightfall hat Folgendes geschrieben:


Man unterscheidet in starke und schwache Einheiten: Kampfwerte 1 und 2 zählen hierbei als schwach, während Werte ab 3 als stark zählen. Dabei muss für jede Starke Unit eine schwache Unit da sein, damit die starke gezählt wird. beide Seiten werden betrachtet. die Seite die mehr starke Einheiten hat gibt den Wert x an (Anzahl starke Einheiten).

Also:

C= Anzahl der Einheiten * (Kampfwert + Kampfwert der stärksten Einheiten)



Ich persönlich halte das für einfach Smile

Zu meinem letzten Post, auf den du dich beziehst: Was man da ableiten soll, dient ja dazu, herauszufinden, wieviele Arm auf wieviele Ftr den C-Wert maximieren Smile Also ne reine Interessefrage. Ich mach das ja auch nicht, um das Spiel zu reglementieren, dokumentieren und zu kategorisieren. Mich persönlich interessiert es halt. Und übrigens:

Ich würde mich als risikobereit betrachten. Wenn ich einen 35%-Prozent-Kampf mache, ohne diese Chance zu kennen, dann ist das ok. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit aber kenne, dennoch von der Richtigkeit des Angriffs überzeugt bin, mache ich ihn eben auch. Risikobereitschaft bedeutet für mich, zu wissen, wann ich ein Risiko eingehe, und nicht, komplett auf Chancen zu pfeifen, denn dann wird mein Spiel schnell eindimensional.

Ulli[/quote]
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